Facebook, YouTube und der goldene Schnitt
von J. Tiburski
Was haben Facebook und Youtube mit dem goldenen Schnitt zu tun? Um diese Frage beantworten zu können muss man natürlich wissen was der goldene Schnitt eigentlich ist ... !

Spätestens seit dem Buch- und Kino-Hit "Sakrileg - Der da Vinci-Code" ist allgemein bekannt, dass der goldene Schnitt etwas mit den Kunstwerken der Alten Meister zu tun hat. So sind viele Kunstwerke von Weltruhm im goldenen Schnitt gehalten - als Höhepunkt des ästhetischen Empfinden!

 

Der goldene Schnitt ist dabei von Wikipedia definiert, als:

Als Goldenen Schnitt (sectio aurea, proportio divina) bezeichnet man ein bestimmtes Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Maior genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (dem Minor) entspricht. Als Formel ausgedrückt (mit als Maior und als Minor) gilt:


(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Golden_ratio_line_percentages.svg)

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl und wird Goldene Zahl genannt, das mathematische Symbol für diese Zahl ist der griechische Buchstabe Φ (Phi).

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt

Übung 1:

Versuche nun selbst, die Definition für die göttliche Teilung (proportio divina)oder auch den goldenen Schnitt zusammenzupuzzeln. Du hast nur 3 min Zeit!

 

Die irrationale Zahl Phi Φ hat dabei den Zahlenwert von ca. 1,682. Um den genauen Wert ermitteln zu können hat der italienische Gelehrte Fibonacci den folgenden Zusammenhang zwischen der von ihm untersuchten Zahlenfolge und dem Wert Phi des goldenen Schnittes hergestellt:

Die Fibonacci-Folge ergibt sich durch die Addition der beiden vorangegangenen Glieder der Folge:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Wenn man nun aber den Qutienten aufeinanderfolgender Glieder bildet erhält man folgende Werte:

1:1=1,0000; 2:1=2,0000; 3:2=1,5000; 5:3=1,6667; 8:5=1,6000

Übung 2:

Ergänze nun selbständig die Glieder beider Folgen (Runde auf 4 Dezimalestellen!):
8  

13  

21  

 

 

1,6250

Die Fibonacci-Folge und die "Schneckenlinie"

Wenn das erledigt ist stellt sich nun noch die Frage: "Wie setzt man das nun in Kunstwerken um, um ästhetische Ergebnisse zu erzielen. Dazu kann man noch einmal die Definition (siehe oben) zu Rate ziehen und erkennt, dass einfach bei der Bildkomposition darauf geachtet wird die richtigen Proportionen einzuhalten. Eine beispielhaft Umsetzung dieser goldenen Proportion ist die Spierallinie, die sogar in der Natur eine herausragende Rolle spielt. Zahlreiche Beispiel für die Verwendung
des goldenen Schnittes in der Kunst und Architektur findet man auf den Seiten von
Dr. Bernhard Peter!

Aber man kann auch selbst die idealen Proportionen erschaffen und anwenden:

Übung 3:

Öffne die Datei Fibonacci_Spirale_Aufgabe.doc. Du findest 
das links abgebildete Quadratmuster, welches für die 
Fibonacci-Folge 0-1-1-2-3-5-8-13-21 steht. Versuche,
die rechts abgebildete Spirale in das Muster einzufügen!

 Tipps für Word:

1. Durch die Anzeige der Gitterlinien 
    (Zeichnen → Gitternetz → Rasterlinien am Bildschirm anzeigen)
    werden die Rasterlinien zum Nachzählen angezeigt.
2. Über die Zeichnen-Menüleiste kann man mittels
    Autoformen→Standartformen→Bogen die Viertelkreise
    hinzufügen.

Hilfe: hilfe_fuer_word.htm
Lösung: Fibonacci_Spirale.doc

Eine weitere Möglichkeit, einen Wert für Phi zu bestimmen, ergibt sich durch die Lösung einer quadratischen Gleichung:

Wenn Phi die Strecke AB im goldenen Schnitt teilt, dann gilt per Definition die folgende Verhältnisgleichung:

AB : x = x : (AB - x)

Wenn man nun eine Streckenlänge von AB = 1 annimmt, dann ergibt sich die Proportion der stetigen Teilung so:

 1 : x = x : (1 - x)

Diese Verhältnisgleichung lässt sich zu einer quadratischen Gleichung in ihrer p-q-Form umformen:

x2 + x - 1 = 0

Übung 4:

Löse die angegebene quadratische Gleichung! Runde die Ergebnisse auf 6 Nachkommastellen! Verwende nur die Beträge!

x1 = und x2 =  

Die Fibonacci-Folge beim "Pflanzenwachstum"
 

 


[ Animation als Video starten ]

Bei den meisten Pflanzen folgt die Blattstellung der Fibonacci-Folge mit dem Ziel, dass die Blätter niemals direkt übereinander liegen - damit das darunterliegende Blatt auch noch Sonne abbekommt!
Nachzulesen unter:

[ http://www.natur-struktur.ch/goldenmean/phyllotaxis.html ]

Übung 5:

Der JavaView zeigt die letzte Entwicklungsphase bereits in 3D. Mit Rechtsklick in das Applet kann man frei Zoomen und Drehen...

Die folgende Sequenz von VRML-Dateien zeigt den rechts animierten Wachstumsvorgang noch besser in fünf Entwicklungsstadien:

[ Phase 1 ]   [ Phase 2 ]   [ Phase 3 ]   [ Phase 4 ]   [ Phase 5 ]

Untersuche anhand dieser Entwicklungsstadien die Stellen, an denen sich Blätter bilden und bestätige die oben getroffene Aussage!

 

Konstruktion für den "Goldenen Schnitt"

Der Wert für Phi - eine irrationale Zahl - kann scheinbar immer nur als Nährungswert angegeben werden. Bei einer geometrischen Konstruktion sieht das aber anders aus. Ähnlich wie irrationale Wurzeln kann man auch Phi durch eine geometrische Konstruktion genau ermitteln:

 

 
Man kann den arithmetischen Wert für Phi natürlich auch im GeoNet-Applet (oben) berechnen. Dazu wechselt man auf den Reiter "Berechnung" und gibt als Formel den Quotienten aus den Abständen von A nach B sowie von A nach Phi ein:
 


Übung 6:

Berechne mittles des Geonet-Applets (oben) den Wert für Phi über die vorgegebene Formel: 

WertPhi=dist(A,B)/dist(A,Phi)

Verändere nun die Lage sowie die Streckenlängen (die roten Punkte sind frei beweglich!) und wiederhole die Berechnung von Phi!
Was stellst du fest?

Der goldene Schnitt auf und

Was hat die Fibonacci-Folge - und damit der goldene Schnitt - mit den Webseiten Facebook und YouTube zu tun. Des Rätsels Lösung ist eigentlich ganz einfach: Nicht nur antike Künstler wie die Alten Meister verstanden es vorbildlich, mit den Proportionen des goldenen Schnittes zu spielen und damit sehr ästhetische Werke zu schaffen. Auch zeitgenössische Künstler greifen gern auf diese Zusammenhänge zurück. Und nicht nur Künstler! Auch Webdesigner sind bemüht optisch ansprechende Designs zu entwickeln. Und so schließt sich der Kreis - in der Bemühung, ästhetische Webseiten zu gestalten, verwenden Webdesigner auch die Proportionen des goldenen Schnittes. Ob gewollt oder zufällig kann nur vermutet werden. Aber bei der Anzahl von Übereinstimmungen mit den "göttlichen Proportionen" bei der Aufteilung des Bildschirms erscheint ein purer Zufall unwahrscheinlich!

Das unten angegebene YouTube-Video deckt einige dieser Zusammenhänge auf:

Übung 7

Untersuche zum Schluß selbst mit Lineal und Taschenrechner die Proportionen der Bildschirmaufteilung der beliebten Webseiten. Beachte, dass es verschiedene Bildschirmgrößen, Auflösungen und Formate gibt ;)

Aber nicht in den Bildschirm stechen ... !!!

Viel Erfolg wünscht

Jens Tiburski 
P.S.: Natürlich kann man auch die irrationalen Lösungen der quadratischen Gleichung aus Übung 4 unter Verwendung von irrationalen Wurzeln genau angeben, aber das steht auf einem anderen Blatt ;)