Unendlichkeitsmaschine mit Exponential - und Logarithmusfunktionen

Die Unendlichkeitsmaschine...
... mit Exponentialfunktionen untersuchen!
(von Jens Tiburski)

Zitat:
(http://www.general-anzeiger-bonn.de/index.php?k=loka&itemid=10490&detailid=646493)

"Kennen Sie Leonardo da Vincis Unendlichkeitsmaschine? Das Genie hatte seinerzeit eine Konstruktion entworfen als Symbol für die Ewigkeit. Viele viele Jahre später haben Technikfreaks diese Maschine nachgebaut. Ein Gerät mit zahlreichen ineinanander greifenden Rädern: Wenn sich die erste Welle einmal pro Sekunde dreht, dauert es eine Billion Jahre, bis sich in zwölf Schritten die letzte Welle einmal gedreht hat. Wahnsinn, oder?"

Zitat Ende

Was ist eigentlich eine Unendlichkeitsmaschine ... ? Und was hat die mit Exponentialfunktionen zu tun ... ?
	Unendlichkeitsmaschine auf wikipedia suchen ...

Die Unendlichkeitsmaschine, die wir zum Anfang untersuchen werden, ist folgendermaßen aufgebaut:
gerenderter Screen	Wire-Frame-Screen
Auf den kurzen Wellen sitzen jeweils zwei Zahnräder - ein Großes mit 36 Zähnen und ein Kleines mit 12 Zähnen. Das kleine Zahnrad treibt jeweils das große Zahnrad der nächsten Welle an. Somit entsteht eine fortschreitende Übersetzung mit dem Faktor 3:1 d.h., das sich die folgende Welle nur mit einem Drittel der Drehzahl der vorangegangenen Welle dreht - oder anders ausgedrückt: Die Zeit für eine volle Umdrehung ist dreimal so groß wie bei der vorangegangenen Welle.
Animation als Video in besserer Auflösung starten: [ unendlichkeitsmaschine.flv ca. 800 kB ] [ unendlichkeitsmaschine_ccr.avi ca. 4,1 MB ] Die beste Ansicht und Interaktivität im Vollbildmodus hat man bei der Nutzung eines VRML-PlugIns: [ unendlichkeitsmaschine.wrl ca. 54 kB ]

Untersuchung der Unendlichkeitsmaschine

Was hat das nun mit Exponential- und Logarithmusfunktionen zu tun?

Wenn man die Drehzahlen der Zahnräder untersucht (s.o.) fällt einem schnell auf, dass die Umlaufzeit aufeinander folgender Zahnräder gleicher Größe um einen konstanten Faktor steigt. Bedingt durch die Geometrie der Zahnräder ergibt sich in unserem Beispiel der Faktor 36/12=3. Also hat jedes Zahnrad eine dreimal höhere Umdrehungsdauer als das auf der davorliegenden Welle.

Wir können davon ausgehen, dass ein Zahnrad in der 0. Stufe - also das getriebene Zahnrad - eine Umdrehungsdauer von genau einer Sekunde hat. Für unser 12-stufiges Modell würde sich also die folgende Tabelle ergeben:

Die Steigerungsrate der Umlaufzeit verhält sich exponentiell zur Stufe. Das letzte Zahnrad braucht also mehr als zwei Tage für einen vollen Umlauf. Alle Werte liegen auf der Exponentialfunktion f(x)=3^x. Trotz - im wahrsten Sinne des Wortes - extremer Steigerung der Umlaufzeiten steht das letzte Zahnrad (theoretisch) nicht wirklich still ... Damit unsere Unendlichkeitsmaschine nicht nur scheinbar, sondern auch wirklich eine Unendlichkeitsmaschine wird, müssen wir an dieser Stelle eine Unendlichkeitsbedingung definieren: Das letzte Rad wird als stillstehend definiert, wenn die Umdrehungsdauer mehr als ein Jahr (12 Monate mit je 30 Tagen) beträgt! Mit dieser Unendlichkeitsbedingung und der allgemeinen Exponentialfunktion T(x) = T₁*n^x kann man nun systematisch unterschiedlichste Unendlichkeitsmaschinen untersuchen: Mit diesem Wissen kann man nun die folgenden Aufgaben lösen:
1.)	Wie viel Stufen bräuchte die Unendlichkeitsmaschine in unserem Beispiel, um der oben formulierten Bedingung zu genügen?
zu 1.)	a) Wie viel Sekunden hat ein Jahr? b) Wie viel Stufen braucht die Maschine? c) Wie viel Sekunden braucht das letzte Rad dann tatsächlich?	s Stufen s
2.)	Welche (ganzzahlige) Untersetzung bräuchte die Unendlichkeitsmaschine, damit sie in nur 12 Stufen schon die Unendlichkeitsbedingung erfüllt?
zu 2.)	Kann durch Probieren gelöst werden ... : 3^11= < 3600243012 4^11= < 3600243012 5^11= > 36002430*12	Da bei 5^11 das Ergebnis größer ist als ein Jahr (31104000 s) muss die Untersetzung 1:5 betragen.
	... oder durch das Lösen der Potenzgleichung: x^11= 31104000	Auf eine Dezimalstelle runden! x =
3.)	Bei einer weiteren Unendlichkeitsmaschine dreht sich das erste Rad mit 5 Umdrehungen pro Sekunde. Ein Zahnrad der 6. Stufe benötigt 3361,4 s für eine volle Umdrehung. a) Mit welcher Untersetzung arbeitet die Maschine? b) Wie lange braucht ein Rad der 10. Stufe für eine voll Umdrehung? c) Wie viel Stufen braucht die Maschine zur Erfüllung der Unendlichkeitsbedingung ?
zu 3.)	a) Zeit für die volle Umdrehung des ersten Rades: Gleichung aufstellen: T₆=T_1*x^5 Die Untersetzung der Maschine beträgt: 1 :	T₁ = s x = = n
	b) Gleichung aufstellen: T₁₀=T_1*n^9	T₁₀ = s
	c) Gleichung aufstellen: T_1*n^x Die Unendlichkeitsbedingung ist nach Stufen erfüllt.	x = Auf eine Dezimalstelle runden!

Unendlichkeitsmaschinen im Netz

Google nach weiteren Beispielen für Unendlichkeitsmaschinen im Netz. Untersuche gefundene Beispiele selbständig auf ihre Untersetzung der Zahnradstufen und die Erfüllung unserer Unendlichkeitsbedingung.

P.S.:

Nun noch eine rein physikalische Frage:

Wo bleibt eigentlich die der Unendlichkeitsmaschine zugeführte Energie, wenn das letzte Zahnrad einbetoniert wird - sich also faktisch nicht mehr bewegt ;)

P.P.S.:

Die dreidimensionalen Grafiken und Animationen der Unendlichkeitsmaschine aus dieser Übung wurden mit dem 3D-Programm FluxStudio 2.0 erstellt. Das Programm FluxStudio 2.0 ist ein 3D-Designer-Programm, welches aus dem Internet herunter geladen werden kann und für pädagogische Zwecke frei verwendet werden darf. Es ist über die vergangenen Jahre aus dem Programm Spazz3D entstanden und ständig verbessert worden. Zwischendurch hatte es den Namen VizX3D mit erweitertem Funktionsumfang und stand dann in der Version FluxStudio 2.0 zur Verfügung. Inzwischen heißt es VivatyStudio.
Die Bedienung des Programms kann an Hand dieses Tutorials kennen gelernt werden.

Stufe	Umlaufzeit (s)	Umlaufzeit (hh : mm : ss) zweistellig
0		-
1		-
2		-
3		-
4		-
5		-
6		-
7		-
8		-
9		-
10		: :
11		: :